据的。要搞懂这一点，我们必须先来了解城市创新。
最近，物理学家们已经开始把自己所研究领域的数学工具应用到研究城市居民与利用能源进行创新的关系上来。例如，路易斯·贝当古（Luís Bettencourt）和来自于圣塔菲研究所（Santa Fe Institute）的同事们10发现，城市的某些特点具有规模效益。例如，一个城市的人口越多，人均占有的加油站数就越少；加油站的数量可能代表了一个城市整体的能源使用情况，而且似乎较大城市的能源利用更为高效。这就类似于较大的机构比小机构高效节能。
然而，要说生产力和创新能力的话，城市符合一种报酬递增的数学关系。例如，大城市每年的人均专利数量更多，并且存在一种很精确的数学关系。我们管这种缩放比例叫超线性（superlinear），因为事物的发展速度比线性速度要快，比直线增长要快。如果城市人口翻倍，那么生产力并不是简单翻倍；它会使生产力和创新能力增加一倍以上。人们发现不管是专利、城市生产总值、科研预算，甚至是艺术家和科研学者这类超级创造性人才，各个领域都存在这种关系。
如果拥有和消耗的资源遵循次线性（sublinear）缩放，并且驱动增长（就像生物11），那么就会形成一个简单的进化系统：从小的开始，快速增长，但最终增长放缓，进入一个成熟期。然而，如果一个系统遵循超线性缩放（就像城市和创新），那么这种数学关系会要求系统越来越快地增长，直到接近无限增长率。
但是无限增长是不会发生的，无论是对生物体还是对城市来说。那么对于城市来说，要想不被这种无限增长击败，它唯有经历被研究人员视为典范创新的过程，主要是重置增长参数。这些创新带来的变化十分广泛，既包括现代化的污水处理系统——大量废物会限制城市的发展，又包括拔地而起的摩天大楼——三维空间的利用使得城市人口密度的增加成为可能。无论是什么变化，这些创新都使得城市避免了因自身发展而变得不堪重负。在过去的日子里，创新重置每隔数百年就会发生一次，而对我们每一个人来说，这些大规模的变化其实是可控的。但现在再也不可能了；一个人的一生竟然要经历多重快速变化，这在历史上还是头一回。
知识改变越来越快，因此带来的社会变革会非常巨大。不只是量变，还有质变。对于中世纪早期一个生活在英国的小村庄里的人来说，除了某些细节，他两年内的生活方式不会有什么差别12。流行时尚可能会发生改变，但在那个人的一生中，他的职业、做饭和做家务的方式是不变的。其实中世纪时期的时尚13，每隔50年才会变一变，这比起19世纪的工业化国家每隔10年变一变已经很慢了。即使你生活在中世纪末期这段少有创新重置的时期（比如引入火药的那个阶段），你也不会觉得很难适应，因为每隔几代人才发生一次创新重置。
人类的历史向来如此。但是随着技术和创新的指数增加趋势，这些变化发生得越来越快。当它变得非常快的时候，我们就要面临一种特殊情况：我们所处的世界似乎置身于一些事实和知识的迅速转变的边缘。任何时候，一个小小的改变都可能会导致一个知识领域的大转变。
当然，处在这种状态的不只有事实的世界，还有许多其他系统也具有类似特点。你可以想象一下，在一个复杂的生态系统中，只要发生一个细微的变化（如去除一个物种，或引入一个病原体），整个系统就可能遭到破坏。或者一次聚会，一个人突然离开会导致曲终人散。或者想得更简单一点，若有一堆沙子，每次加几粒，沙堆会慢慢变大。但是随着沙子加得越来越多，最终，只需几粒沙子就会触发沙堆的迅速变化——塌落。为什么会这样呢？几颗沙粒使得系统到了迅速转变的边缘，这又是为何呢？
伯·巴克（Per Bak）、汤超（Chao Tang）、库尔特·维森弗特（Kurt Wiesenfeld）这三位物理学家对此展开了深入的研究。1987年，他们发布了一个简单的数学模型，旨在解释为什么小变化的积累可以导致一个系统巨大的变化。
这个模型像伊辛模型一样利用了网格。他们把每个可以加入一粒沙子的位置看成一个点。而且，按照模型预设好的数学规则，如果某个地方沙堆过高，模型会有相应反应。如果沙堆的高度超过一个指定值，那么沙粒就开始向相邻的点移动，类似于水呈锥形下落。当这个模拟沙堆高度达到了所谓的临界状态，它就会与之前所描述的完全一样：沙粒一颗颗落下，你根本不知道接下来会发生什么。沙堆有可能只是微微动一下，也有可能就彻底塌落了。有点像积木或三眼仔游戏（Ker Plunk），但从数学的角度来说，这个系统会一直在未知的边缘徘徊。
结果我们发现，这样一个总是濒临塌落边缘的系统，却正是现实世界里典型的真实系统，甚至知识世界也是这样一个系统。说得可能有点隐晦，我们的世界就是这样渐进变化的。
我们生活在一个神奇